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sábado, 9 de abril de 2011

Actividad 2

Cónicas: La Hipérbola

HIPÉRBOLA

Es el lugar geométrico del conjunto de puntos P(X,Y) del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante.
Esa constante (k) es igual a 2a y no es más que la distancia entre los dos vértices de la hipérbola.
| d(P,F1) - d(P,F2) |=2a




ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA



Focos: Son dos puntos fijos (F y F') y respecto a ellos, la diferencia de distancias permanecen constante (en valor absoluto) a cualquier punto de dicha hipérbola.
El centro (O): es el punto medio de los focos.
Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz (perpendicular al punto medio) del segmento segmento
Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.
Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.
Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'.
Distancia focal: Es el segmento segmento de longitud 2c, es decir, OF = OF' = c
Eje mayor: Es el segmento segmento de longitud 2a.
Eje menor: Es el segmento segmento de longitud 2b.
Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.
Asíntotas: son las tangentes a la curva en el infinito. Los ejes son bisectrices de las asíntotas y de ecuaciones:  
rectas

La excentricidad: mide la abertura mayor o menor de las ramas de la hipérbola
excentricidad

Ecuación de una Hipérbola

 

La ecuación de la hipérbola será:


Si el eje focal de la hipérbola es horizontal entonces, centro está en $(h, k)$, los vértices están en $(h \pm a, k)$  y los focos están en $(h \pm c, k)$.



La ecuación de la hipérbola será:

Si el eje focal de la hipérbola es vertical entonces, el centro está en $(h, k)$ , los vértices están en $(h,k \pm a)$, los focos están en $(h, k \pm c)$. 
 Ecuación Reducida: Es la ecuación de la hipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes coordenadas, y, por tanto, el centro de hipérbola con el origen de coordenadas.
Los focos son F'(−c, 0) y F(c, 0)


Cuando los focos están sobre el eje Y, los focos son F'(0, −c) y F (0, c). 
La ecuación es:
 

NOTA: Las hipérbolas en las que los semiejes son iguales se llaman equiláteras, por tanto a = b. Y su ecuación es:

Las asíntotas tienen por ecuación: ,  Es decir, las bisectrices de los cuadrantes.
La excentricidad es: 

COMO PASAR DE ECUACIÓN GENERAL A CANÓNICA
 



OJO: A y B tienen signos opuestos

Ejemplo Tipo:

1.- Hallar la ecuación canónica, los focos y los vértices de la hipérbola cuya ecuación es:
\begin{displaymath}9\,x^2 - y^2 - 36\,x - 6\,y + 18 = 0\end{displaymath}
Datos: 
Ecuación de la hipérbola:  \begin{displaymath}9\,x^2 - y^2 - 36\,x - 6\,y + 18 = 0\end{displaymath}
Fórmulas o conceptos: 
         Focos
         Vértices
Resolución:
Completando el cuadrado en ambas variables

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} 9\,\left( x^2 - 4\,x + 4 - 4 \right) - ... ... - \frac{{\left( y + 3 \right) }^2}{9} & = & 1 \\ \end{array}\end{displaymath}


Por lo tanto, el centro está en $(2, -3)$, y  es vertical
Los vértices están en V(2,0) V(2,-6)

COMO PASAR DE ECUACIÓN CANÓNICA A GENERAL



OJO: A y B tienen signos opuestos

Ejemplo Tipo:

2.- Pasar a la forma general, la ecuación canónica , .
Datos:

Ec. canónica: 
Conceptos: Cónicas e hipérbola, mínimo común multiplo, productos notables y Ecuaciones.

Desarrollo: 
Es una hiperbola porq (x-2)2-(y+3)2tienen signos diferentes. 
4(x-2)2-9(y+3)2=36
4(x2-4x+4)-9(y2+6y+9)=36
4x2-16x+16-9y2-54y-81=36
4x2-9y2-16x-54y-101=0

SOLUCION:
La ecuación de la forma general queda:
4x2-9y2-16x-54y-101=0

3.- Determinar una ecuación de la hipérbola que pasa por el punto de coordenadas (2,8), si uno de sus vértices está en V (0-4), su centro coincide con el origen del sistema de coordenadas y su eje focal es perpendicular al eje de las abscisas.
Datos: 
V(0,-4) Vértice
C(0,0) Centro en el origen del sistema de coordenadas
P(2,8) Punto por el que pasa la hipérbola
El eje focal es perpendicular al eje de las abscisas, eje X
La ecuación es de la forma:
Conceptos:
Cónicas, vértices, centro, caracteristicas de la hipérbola
Resolución: 
Encontramos a por la distancia del vértice al centro, por lo tanto:
a=4
Como tenemos el punto P(2,8), sabemos que hipérbola pasa por ese punto, y que a=4, sustituimos x, y, a en la ecuación y encontramos b2:


a2=16

conociendo los cuadrados de a y de b, sustituimos en la ecuación:


SOLUCION:

La ecuación de la hipérbola queda:

Y de la forma general queda:

3y2-48x2-64=0

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